1,2,3,... - Ethik!
Eine 'blöde' Frage: was sind die natürlichen Zahlen? Also die Zählzahlen 1, 2, 3, ... , die jedes Kleinkind zu lernen imstande ist – das soll eine philosophische Frage von Gewicht sein? Und gar etwas mit Ethik zu tun haben?
Antwort: Ja.
Es geht dabei unter Anderem um die Bedeutung solcher Begriffe wie „Unendlich“, aber auch um das Verständnis von „Wahrheit“ und noch einige andere, in unserer Kultur und Wissenschaft, aber auch im Alltagsleben und in der Ethik höchst wichtige Wörter, ja sogar um den Begriff "Freiheit". Es handelt sich bloß scheinbar, nur auf den flüchtigen Blick, um eine Angelegenheit nur der Mathematik. Tatsächlich haben wir es hier mit dem grundlegenden Problem sämtlicher Wissenschaften zu tun, ein Problem, das in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts von den Philosophen und Wissenschaftstheoretikern zu lösen versucht wurde – inzwischen scheint man es aber resigniert zur Seite gewischt zu haben.
Was ist das Problem?
Beschreiben wir ein Beispiel aus der Mathematik, es ist die sogenannte „Kontinuumshypothese“: mathematisch etwas laienhaft ausgedrückt, stellt sie die Behauptung auf, dass die Menge der natürlichen Zahlen (also der Zahlen, mit denen wir zählen: 0,1,2,3,.... ) nicht weniger und nicht mehr „mächtig“, nicht weniger, aber auch nicht mehr umfangreich ist als die Menge der reellen Zahlen (das sind die Dezimalzahlen, z.B. 1,1234; 3,1415926; 50000,48723094823742743...)
Wenn man also beide Mengen „durchzählt“, jeweils jedes Element mit einer Nummer, einer „Kardinalzahl“ benennt, dann behauptet die Kontinuumshypothese, dass beide Zählreihen nicht unterschiedlich umfangreich sind. Laienhaft betrachtet denkt man leicht, dass es natürlich mehr reelle Zahlen geben muss als natürliche Zahlen, da man jeder natürlichen Zahl ein Komma anfügen und dann x-beliebig viele weitere natürliche Zahlen und Zahlenfolgen dahinter schreiben kann. Nur durch Anfügen eines Kommas an eine natürliche Zahl kann man aus ihr unendlich viele -'ohne Ende' - reelle Zahlen machen.
Dieses Problem ist eigentlich schon aus der Antike bekannt als die Paradoxie vom Wettlauf des Achilles mit der Schildkröte: Die Schildkröte bekommt einen Vorsprung, und nach dem Startsignal holt Achill erst einmal die Hälfte des Vorsprungs auf; während dessen hat die Schildkröte aber auch schon eine Wegstrecke zurückgelegt, deren Hälfte Achill erst wieder einholen muss, während dessen die Schildkröte wieder ein Stück...usw. Bekanntlich ist diese Paradoxie leicht aufzulösen, sobald man die Infinitesimalrechnung erfunden hat. Jetzt benötigt man aber die Zahl „unendlich“ - und die Frage ist: ist „unendlich“ eine Zahl? Gibt es das „aktual Unendliche“? Oder sollte man von einem „potentiell Unendlichen“ sprechen, also von der Vorstellung ausgehen, dass man immer weiter zählen kann, ohne Ende? Auch dieser Streit währt schon seit der Antike. Aristoteles entschied sich für das Potential-Unendliche, die Platoniker, z.B. der heilige Augustinus, sahen das Aktual-Unendliche als göttlich an.
Kurt Gödel und Paul Cohen zeigten, dass die Kontinuumshypothese innerhalb der Mengenlehre weder beweisbar noch widerlegbar ist, und so nimmt man sie, weil man sie benötigt, als unbewiesenes „Axiom“ in die Mengenlehre auf (Zermelo-Fraenkel mit Kontinuumshypothese, "ZF+CH"). „Unbewiesen“ heisst: man kann weder behaupten, das Axiom sei wahr, noch, es sei falsch. Will man ein Axiom „beweisen“, oder seine Verwendung legitimieren, muss man auf eine andere, 'übergerdnete' Theorie zurückgreifen. Und will man diese „Meta“-Theorie überprüfen, steht man vor dem gleichen Problem der Legitimität ihrer Voraussetzungen: man braucht wieder eine Metatheorie der nächsten Stufe usw. usf.. Oft verzichtet man darauf, eine solche nicht endende Treppe zu betreten und beruft sich auf "Plausibilität" der vorausgesetzten Annahmen, der Axiome. Dabei übersieht man jedoch, dass auch schon die Erläuterung, warum man diese oder jene Annahme für plausibel hält, ja sogar schon die Formulierung der Annahme allein, sich auf theoretische Zusammenhänge stützt - auch unreflektierte Alltagserfahrungen und Gemeinplätze gehören dazu, sie verbergen sich in der 'natürlichen' Umgangssprache. Man stützt sich also auf Vor-Urteile, manchmal auf die Vorwegnahme eines gewünschten oder 'sinnvoll' erachteten Ergebnisses der fraglichen Theorie.
Kann man möglicherweise dem Problem entfliehen, indem man beweist, dass die Menge dieser gestuften Theorien in sich vollständig und widerspruchsfrei ist? - Das wäre die Voraussetzung dafür, dass man die jeweils zu gewinnenden Schlussfolgerungen aus dieser theoretischen Stufenpyramide als „wahr“ oder als „falsch“ zu beurteilen wären, und dass man sich, sobald man sie im Leben, in der Technik und Industrie, aber auch z.B. in der Wirtschaftspolitik oder im Recht anwendet, zuverlässig das erzeugen, was man argumentativ „bewiesen“ hat. Im 'wirklichen Leben' will man sich nicht der Methode "Versuch und Irrtum" aussetzen. Zumindest wenn es um das Leben anderer geht, wäre das ersichtlich unmoralisch - diesen Vorgriff auf die methodische Begründung ethischer Aussagen möchte ich mir hier erlauben.
Durch Kurt Gödels berühmten „Unvollständigkeitssatz“ (1931) wurde dieses Problem bei der Begründung von Theorien nach dem Meta-Theorie-Konzept als unlösbar bewusst: die Mengen- bzw. Typenlehre, die Bertrand Russel zur Begründung der Mathematik entwickelt hatte, kann ihr Versprechen nicht halten. Die Mathematik hat eine 'black box' ganz am Anfang ihrer Methodik. Man weiss nicht was drin ist, wie in der Losbude greift man blindlings hinein und arbeitet mit dem, was man dabei erwischt hat. Wie kann man sich dann jemals sicher sein, ob die erarbeiteten Ergebnisse solcher Theorien wahr, richtig und zuverlässig sind? Der Mathematiker Leopold Kronecker hatte darüber schon im 19. Jahrhundert geklagt: „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk“. Sollen die Mathematikstudenten ihre ersten Semester etwa in der theologischen Fakultät verbringen? Oder sollte man sich nicht lieber um die wissenschaftliche Begründung der ganzen Zahlen kümmern?
In genau dieser Weise haben sämtliche Wissenschaften, nicht nur die Mathematik dieses black-box-Problem, solange man das Begründungsproblem für ihren jeweiligen Bereich nicht gelöst hat. So etwa in der Psychologie: "Intelligenz ist, was der Intelligenztest misst" - ist das wirklich eine intelligente Anfangsdefinition? Oder in der Ökonomie: Was ist "Geld"? Was ist "Kapital"? Was ist "Markt"? usw.
Es ist die genuine Aufgabe der Philosophie, solch blosse Plausibilitäten an der terminologischen Basis, den Begriffen am Anfang der verschiedenen Wissenschaften zu ersetzen durch eine objektive Methode der Wissenschaftsbegründung.
Das Begründungsproblem ergibt sich aus dem üblichen Vorgehen: man entwirft eine Theorie, indem man erste Begriffe definiert, also per Umgangssprache Aussagen behauptet, Fachbegriffe und Regeln festlegt, mit denen aus den Anfangsbehauptungen neue Erkenntnisse erschlossen werden. Danach entwirft man eine zweite Theorie auf „höherer“ Ebene, mit der man überprüft, ob die erste Theorie in sich geschlossen und widerspruchsfrei ist. Nur wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, kann man auf die erarbeiteten Schlussfolgerungen vertrauen. Jetzt stellt sich aber die Frage: wie steht es um die Vertrauenswürdigket der Theorie zweiter Ordnung? Also entwirft man eine Theorie dritter Ordnung, mit der man die Theorie zweiter Ordnung auf Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit überprüft...und so weiter, ad infinitum. Angenommen, die Theorie, sagen wir, 10. Ordnung stellt fest, dass die Theorie 9. Ordnung fehlerhaft ist – damit fällt das ganze Kartenhaus zusammen. In der Gegenwwart begegnen wir allenthalben dem Vorschlag, auf eine kausalistisch andere Ebene überzugehen. Kommt das Finanzsysstem in die Krise, sollen nun die Verhaltenswissenschaften zur Begründung der Ökonomie herangezogen werden und sich mit dem Verhalten der Börsenjunkies befassen; für die Verhaltensforschung wieder ist derzeit beliebt der Verweis auf genetisch verankerte Denk- und Verhaltensweisen. So sucht man etwa auch den Ursprung der Zahlen in irgendwelchen "Zahlgenen". Aber, nicht vergessen: auch die Genetik wäre methodisch zu begründen... und dann gibt es auch noch eine Wissenschaftssoziologie, die sich der Frage widmet, warum Forscher sich mit diesem oder jenem Thema beschäftigen - wie steht es mit den Wissenschaftssoziolgen?... usw., usf.
Die philosophische Lösungsstrategie für das Begründungsproblem ist: man muss mit den je eigenen Argumentationsmitteln einer Theorie prüfen können, ob sie selbst vollständig und widerspruchsfrei ist. Die Theorie soll sich aus sich selbst begründen lassen. Da liegt die Crux: Gödels Unvollständigkeitssatz sagt, man kann entweder das eine oder das andere – aber niemals beides zusammen, sowohl die Vollständigkeit als auch die Widerspruchsfreiheit der Theorie mit deren eigenen Mitteln beweisen.
Die Konsequenz ist: man ist auf den Glauben verwiesen, dass die unbegründet – willkürlich gesetzten Anfangsbehauptungen einer Theorie „irgendwie vernünftig“ seien. Und nur auf der Basis dieses Glaubens kann man den Schlussfolgerungen „vertrauen“. Wissenschaftlern kommt so der Status des Priesters zu, weil die Begründung der Wissenschaften selbst nicht wissenschaftlichen Gewissheiten folgt.
Das ist kein kleines Problem – ein grosses Problem ist es, dass die Glaubensfundierung des Wahrheitsbegriffs ignoriert wird. Ein Beispiel von der grössten Maschine der Welt, dem Large Hadron Collider bei Genf. Bei den Experimenten sollen Schwarze Löcher entstehen, die dich, mich, die ganze Menschheit, die Welt und auch den LHC ins Nichts, in eine Singularität einsaugen könnten. Einige, die von Physik mehr verstehen als ich und wahrscheinlich auch du, äussern die Befürchtung, der LHC könnte sich als Doomsday-Maschine erweisen. Andere, die von Physik ebenfalls mehr verstehen als du und ich und der grössere Teil der Menschheit, behaupten dagegen, diese Befürchtung sei unberechtigt, womöglich lächerlich. Für keine dieser Behauptungen liegt ein notariell beglaubigter Wahrheitsbeweis vor, es wäre wahrscheinlich auch schwierig, einen befähigten Notar ausfindig zu machen. Immerhin liegt die Wahrscheinlichkeit, mit der die Entstehung und der Weiterbestand kleiner Schwarzer Löcher von den Experimentatoren "geschätzt" wird (1 : 10.000.000), um ein Vielfaches höher als die Wahrscheinlichkeit eines Jackpots im Lotto (1 : 140.000.000).
Bedenklich ist: nicht einmal das höchste deutsche Gericht sah sich befugt, über diese Berechtigung zum göttlichen Lottospiel zu entscheiden und überlässt das Schicksal der Welt damit dem absolut, durch eine überstaatliche Immunität des CERN ausserhalb jeder Rechtsordnung (höchst erstaunlich! siehe Video!) agierenden 'freien' Genius der Wissenschaftler.
Schon einmal, vor der Erprobung der ersten Wasserstoffbombe, gab es Befürchtungen, es könnte die Atmosphäre in Brand gesetzt werden. Hoffen wir, dass es auch diesmal gut geht.
Darf man die Existenz der Welt dem Wissensdurst, den Beteuerungen und Plausibilitäten derjenigen anvertrauen, die von ihren Experimenten begeistert sind? Auch wenn man deren Ernsthaftigkeit und Seriosität in keiner Weise anzweifeln möchte – es liegt ja nicht an der Egomanik der Genfer Forscher, sondern an der axiomatischen Grundlage ihrer Wissenschaft, somit letztlich an blosser Plausibilität. Muss man als Wissenschaftler - und als Nachbar von Wissenschaftlern - glauben und hoffen?
Was nun - ist die Wissenschaft, als eine Instanz verstanden, die das schöpferische Leben der Menschen untereinander friedlich-verträglich, nämlich unter dem Prinzip der Allgemeingültigkeit gestalten hilft, zu retten? Wie ist die Freiheit der Wissenschaft zu verstehen? Muss man sie, wieder hierarchisch, unter Kuratel von Sicherheitswächtern stellen - oder stimmt etwas nicht an dem "solipsistischen" bzw. "individualistischen" Freiheitsbegriff? Was hat die Freiheit des Individuums mit der aufklärerischen Forderung nach Allgemeinheit zu tun?
***
Der Philosoph und Mathematiker Paul Lorenzen hat in seiner „Metamathematik“ (1962) eine wichtige Lösung ausgearbeitet für die Bewältigung des Problems der Begründung von Wissenschaft, der Begründung ihrer Fähigkeit zur Allgemeingültigkeit. Wenn auch diese Lösung sich auf die Mathematik fokussiert, so gibt sie doch die Leitlinien für die Lösung auch in anderen Wissenschaften. Die Grundidee dabei ist: eine Terminologie wird von 'unten' aufgebaut, letztlich aus einem vorsprachlichen Bereich heraus, aus der Praxis. Man muss sich dann nicht auf eine vorausgehende, der jeweiligen Theorie übergeordnete Sprachebene verlassen.
Die Absicht Lorenzens bei seinem konstruktivem Ansatz der "Metamathematik" war, einen Ausweg zu zeigen aus dem Dilemma, das für die Wissenschaften durch Gödels Satz entstanden war. Dieser Ausweg sollte nicht axiomatisch sein - denn die axiomatische Herangehensweise ist ja gerade die Ursache für das erkenntnistheoretische Dilemma aus dem Unvollständigkeitssatz. "Axiomatisch" kann man die Probleme mit der Kontinuumshypothese leicht wegdefinieren - man muss sie ja nur über das Auswahlaxiom zur Mengenlehre hinzunehmen, damit ist die Welt für die Mathematiker scheinbar wieder in Ordnung. Das heist aber doch: nachdem man innerhalb der Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel) das Kontinuum der reellen Zahlen nicht beweisen kann, setzt man es, per Axiom, als zwar plausible, aber dennoch als unbegründete und unbeweisbare Voraussetzung - Punkt !, fertig !, sozusagen 'par ordre du mufti'. Dieses ist das philosophisch absolut Unbefriedigende an der axiomatischen Vorgehensweise, die Allgemeingültigkeit von auf solche Art aufgebauten Theorien beruht allein auf der Gefälligkeit ihrer Voraussetzungen.
Die methodischen Grundsätze einer „konstruktiven“ Vorgehensweise à la Lorenzen sind: gehe vor Schritt für Schritt, ohne zirkelhafte Bezugnahme auf Wörter, die einem, aus der Alltagssprache, schon 'auf der Zunge' liegen, aber noch nicht in der Reihenfolge des Aufbaus von unten in ihrem Gebrauch festgelegt wurden. Im Falle der Mathematik sind diese ersten Begriffe – die Zählzahlen. Kommt dann noch die formale Logik dazu, kann der weitere Aufbau der Arithmetik problemlos durchgeführt werden. (Übrigens: auf die hierzu benötigte Logik – genauer: Prädikatenlogik 1. Ordnung - kann man sich verlassen, denn diese erfüllt die Gödelschen Kriterien von Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit nach eigenen Kriterien)
Was also sind die Zählzahlen 1,2,3,...?
Da die Mathematik, wie alle Wissenschaften, nicht mit der Alltagssprache, sondern mit einer exakten Kunstsprache („Orthosprache“) arbeitet, muss sie diese ihre Artefakte bewusst, wissend was sie da tut, herstellen, synthetisieren. Natürlich bedient man sich dabei der Alltagssprache, aber nur zur Erläuterung und Umschreibung dessen, was man da an der Tafel in der Vorlesung oder im Labor macht – die Anfangsbegriffe und ihre inhaltlichen Bedeutungen für die jeweilige Wissenschaft jedoch müssen in einer Weise festgelegt werden, die „prinzipiell“ ohne inhaltlichen Rückgriff auf die Bedeutung der Alltagswörter auskommt. So, als würden quasi sprachlose Menschen 'ab ovo', frisch aus dem Ei des Klapperstorchs geschlüpft, ihre eigene Kunstsprache miteinander entwickeln. Das klingt schwierig, deshalb scheint die Philosophie auch die schwierige Aufgabe zu haben, sich wie Münchhausen am eigenen Schopf aus dem Sumpf ziehen zu sollen.
Es geht aber auch ganz einfach. Lorenzen schlug folgende Handlungsanweisung vor, um die Zählzahlen zu konstruieren:
Mach einen Strich I, dann noch einen dazu II , dann noch einen dazu III , usw.. Allgemein gesprochen: befolge die Vorschrift:
=> I ; n => nI
Es gibt jedoch noch philosophische Kritik an diesem „Abstrahieren“ von der Gegenständlichkeit der Zählzeichen: es ist nicht eindeutig genug in Bezug auf die philosophisch-aufklärerische Forderung nach "Allgemeinheit". Dies hängt auch damit zusammen, dass die Konstruktion der Zahlen einer Regel folgt – wer stellt diese auf, und gibt es dazu noch weitere Begründungen, ausser, dass sie trivial-selbstverständlich erscheint? Was unterscheidet, philosophisch, diese Regel positiv von den Peano-Axiomen, die ja auch – in der von den Konstruktivisten kritisierten „axiomatischen“ Vorgehensweise - Regeln zur Definition des „Nachfolgers“ sind? Die axiomatische Begründung kommt für Lorenzen deshalb nicht in Frage, weil die Formulierung der Axiome willkürlich-unbegründet ist und auf die natürliche Sprache als einer Metasprache zurückgreift.
Um diese Frage zu beantworten, möchte ich, anstatt von „Abstraktion“ von „Verallgemeinerung“ sprechen. Abstrahieren heisst ja: etwas weglassen. Was? Wer trifft, wie begründet man die dazu nötigen Entscheidungen über die Relevanz des weg zu Schneidenden und über das zu Belassende?
Unter Verallgemeinerung dagegen verstehe ich den Perspektivwechsel weg vom Objekt, hin zum Subjekt, die Aufhebung der Subjekt-Objekt-Gegensätzlichkeit. Nicht das Objekt wird abstrahiert, sondern das Subjekt verallgemeinert sich und seine Beziehung zum Objekt - damit gewinnt es ein, allen Subjekten gemeinsames, Objekt. Die Tätigkeit, hier also die Tätigkeit des Konstruierens der Zähl-Zahlen, soll von Leuten durchgeführt werden, die sich ihr Verhältnis zu ihren Diskurspartnern selbst so gestalten, dass es keinen Unterschied macht, welcher von den Teilnehmern welchen Diskursschritt durchführt. Das heisst, sie sollen sich gegenseitig vertreten, repräsentieren können. Sie könnten, ohne dass dadurch für einen der Betroffenen das Ergebnis sich verändert, etwa auslosen, wer welchen Schritt unternehmen soll. Erst dann, wenn wir diesen Schritt zur Verallgemeinerung unserer Anschauungen durchgeführt haben, können wir uns darauf verlassen, dass die von uns erzeugten Wörter und Unterscheidungen „objektiv“ sind – das heisst, es ist gleichwertig, ob du oder ich oder ein anderer die Rechnung oder die Argumentation durchführt – sie ist von jedem nachvollziehbar (und auf Denkfehler zu überprüfen, die man dann einvernehmlich korrigieren könnte).
Dazu müssen wir die Tätigkeit des Zahlen Konstruierens durch Striche machen im Rahmen einer Interaktion durchführen, in der die Rollen der Beteiligten nach gewissen Regeln verteilt und getauscht werden. Die Ausgangslage dabei ist: einer, auf der Initiativseite, übt die Konstruktionstätigkeit aus, der andere, auf der Responsseite, überwacht die Einhaltung der Konstruktionsregel. Es gibt dabei nur eine Konstruktionsregel, diese gibt dem Diskursteilnehmer, der jeweils auf der Initiativseite ist, vor, was er zu tun hat. Sie besagt:
„Mache das Gleiche, was dein Vorgänger getan hat“. Sie gilt für alle Teilnehmer unverändert gleich.
Man sieht, dabei ist nichts „Materielles“ vorgeschrieben. Es ist eine allgemeine Regel, die für jeden gleichermassen gilt, und deren Einhaltung vom jeweiligen Gegenüber eingefordert wird. „Materiell“ wird nur vorausgesetzt, dass es ums Striche machen geht; das könnte man auch abändern, etwa: Äpfel in den Korb legen – es geht um das Zusammenführen von irgendwelchen diskreten Gegenständen.
Wir werden überrascht sein zu sehen, dass sich, je nach den Regeln der Positionsverteilung im Diskurs, völlig unterschiedliche Zahlensysteme ergeben – obwohl alle nur dieselbe Konstruktionsregel befolgen. Wir bekommen dann unterschiedliche Zahlbegriffe.
Das heisst: die Struktur der sozialen Ordnung, und nicht die Konstruktionsregel bestimmt den Zahlbegriff !
***
Beginnen wir mit dem ersten Diskursspiel, in dem jeder Schritt von einem anderen Teilnehmer ausgeführt wird.
Sie spielen den Diskurs in einer hierarchischen transitiven Reihenfolge durch: der Erste im Diskurs mit dem Zweiten, der Zweite mit dem Dritten usw. Der Turnus wird geschlossen, sobald der erste Teilnehmer noch einmal die Initiative ergreift und wieder mit dem letzten Spieler spielt. Der erste Initiator nimmt also eine herausgehobene Stellung ein: er bestimmt den Anfang und das Ende, und er ist zweimal auf der Initiativseite aktiv. Im Unterschied zu allen anderen Teilnehmern ist er nie auf der Responseseite, jene dagegen sind alle je einmal auf der Responseseite und einmal auf der Initiativseite. Das sind die Regeln der transitiven Relation.
Der Erste Initiator bestimmt damit souverain den Anfang und das Ende der entstehenden Zahlenfolge, ihre Länge. Ob sie „Unendlich“ wird, hängt von seiner Willkür ab.
Die Tätigkeitsanweisung an den jeweiligen Inhaber der Initiativseite lautet, wie bereits gesagt:
„Mache das Gleiche, was dein Vorgänger getan hat“.
Damit hat jeder Teilnehmer die gleichen 'Rechte', keiner wird bevorzugt oder benachteiligt, sobald das Spiel begonnen hat. Alle sind gleich, und insofern kann sich keiner beschweren. Das ist ein elementarer ethischer Grundsatz dafür, dass die Ergebnisse auch für alle Teilnehmer als verbindlich angesehen werden können.
Der Anfangsschritt sieht dann so aus:
Der erste Initiator findet eine Situation vor, die leer ist. Dazu fügt er einen Strich. Ergebnis ist: 1
Da der erste Initiator keinen Vorgänger hat, ist er frei, zu wählen, was er tut. Er hätte auch mehr Striche machen können, er hätte Kieselsteine hinlegen können, was auch immer ihm einfällt - er ist in dieser Position, als erster Initiator, Souverain. Aber wir wollen mit der Minimalleistung zufrieden sein.
Damit prägt der erste Initiator der Diskurse jedoch die Tätigkeiten seiner nachfolgenden Spieler. Da es aber keine Vorschrift gibt, welcher Mitspieler die erste Position einnehmen sollte, ist dieser 'Vorteil' beim ersten Spieler irrelevant. Er ist nicht begründbar – denn vor Beginn des Spiels zur Erzeugung der Zahlen können die Teilnehmer an diesen 'Zahlenmacherspiel' ja noch nicht zählen -, deshalb aber auch nicht angreifbar oder widerlegbar – er fungiert wie ein Axiom. Ein weiteres Ergebnis ist damit schon erkennbar: dieses „Axiom“ bestimmt – aufgrund der Logik der Transitivität – dass derselbe, der den Anfang bestimmt, auch das Ende bestimmt. In ihm liegt die Bestimmung der „Unendlichkeit“.
Wir wollen den ersten Spieler deshalb vor die alphabetische Reihe der Diskursteilnehmer stellen und nennen ihn DAM.
Der nächste Diskursteilnehmer ADAM, der im ersten Diskursschritt auf der (kontrollierenden) Responseseite war, wechselt nun auf die Initiatorseite.
Dort macht er dasselbe, was sein Vorgänger DAM in seinem Durchgang getan hat: er fügt die Null (die Ausgangszahl des Vorgängers) und die Eins (die Ergebniszahl des Vorgängers) zusammen – Ergebnis: 1. Allgemein gesagt: er addiert die beiden Zahlen (Ausgangs- und Ergebniszahl) seines Vorgängers, das Ergebnis ist seine neu gebildete Zahl. Diese neue Ergebniszahl, zusammen mit seiner Ausgangszahl, wird dann von seinem Diskurs-Nachfolger wieder zusammengefügt, womit die neue Zahl des Diskurs-Nachfolgers entsteht.
Im dritten Durchgang kommt nun Bedam, der den zweiten Durchgang auf der Responseseite überwacht hat, auf die Initiatorseite; er macht dasselbe, was sein Vorgänger tat: er fügt die Striche (Ausgang und Ergebnis) seines Vorgängers (hier: ADAM) zusammen. Ergebnis: 2
Im vierten Durchgang kommt CEDAM, der Bedam überwachte, auf die Initiatorseite, er macht dasselbe, das sein Vorgänger CEDAM tat: er fügt die Striche seines Vorgängers, hier: BEDAM, zusammen. Ergebnis: 3. So geht das Spiel weiter – ohne erkennbares, bennennbares Ende. Es können 'unendlich' viele Diskursschritte mit 'unendlich' vielen Teilnehmern durchgeführt werden – bis der erste Initiator die Folge schliest, indem er die Initiative gegenüber dem bis dato letzten Teilnehmer ergreift.
In einer Übersicht zusammengestellt:
a) Die diskursive Erzeugung der hierarchischen Zahlen (FIBONACCI-Folge)
Die Konstruktionsvorschrift für die Initiativseite lautet:
„Mache das Gleiche, was dein Vorgänger gemacht hat“
Der Respondent überwacht kritisch die Ausführung dieser Vorschrift, gekennzeichnet durch das Fragezeichen „?“.
TRANSITIVITÄT
Tätigkeit Respondent Initiator Ergebnis
ADAM DAM -Zahl
Vorgabe 0
?
Vorgabe+Hinzu 0 + I => I 1
BEDAM ADAM
Vorgabe I
?
Vorgabe +Hinzu 0 + I => I 1
(wie Vorgänger)
CEDAM BEDAM
Vorgabe I
?
Vorgabe + Hinzu I + I => II 2
(wie Vorgänger)
DEDAM CEDAM
Vorgabe II
?
Vorgabe + Hinzu II + I => III 3
(wie Vorgänger)
EFDAM EDAM
Vorgabe II
?
Vorgabe + Hinzu II + III => IIIII 5
(wie Vorgänger)
. .
........
........
.......
........
........
.......
Ω-DAM DAM
Vorgabe II...+IIIII...
?
Vorgabe + Hinzu II... + IIIII... =>
(wie Vorgänger) IIIIIII.... Ω
Es ergibt sich die „FIBONACCI-Folge“ mit den Zahlen:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, ......
Zahlen als Begriffe
Wir wollen nun das Diskursspiel verändern in Bezug auf die Platztauschregel der Diskursteilnehmer. Der Gegenstand des Spiels, die Handlungsanweisung an den jeweiligen Spieler auf der Initiatorseite bleibt jedoch wie im obigen Spiel:
„Mache das Gleiche, was dein Vorgänger gemacht hat!“.
Die Platztauschregel schreibt jetzt vor, dass je zwei Diskurspartner in zwei aufeinader folgenden Diskursen ihre Positionen in symmetrischer Weise miteinander tauschen. Jeder ist also mit demselben Partner einmal in der Initiativ-, und einmal in der Responseposition.
Die so erzeugte soziale Symmetrie zwischen den Diskursteilnehmern löst die Identität der Reihenfolge der Diskursteilnehmer mit der Reihenfolge der Diskursschritte auf. Jetzt kann kann im transitiven Dirkursdurchgang jeder Diskursteilnehmer beliebig in jeden Diskursschritt eintreten, weil die Spieler sich, als Folge der erzeugten sozialen Symmetrie zwischen ihnen, sich gegenseitig repräsentieren können.
Wird die Einordnung in den Diskursverlauf, wie eben, allein durch die Regel der Transitivität bestimmt, dann ist das Ergebnis der Tätigkeit eines jeden Teinehmers, je nach der Rangstelle, an der er seinen „turn“ durchführte, verschieden von der eines jeden anderen - obwohl er ja dieselbe Regel wie alle anderen befolgt hat: „Mache das Gleiche, was dein Vorgänger gemacht hat“! Das scheint erstaunlich; jeder Teilnehmer ist durch die von ihm erzeugte Fibonacci-Zahl identifizierbar. Die Reihenfolge des Eintritts eines Diskursteilnehmers ist nicht vorbestimmt – sie kann von jedem selbst bestimmt werden. Diesbezüglich gibt es keine Regel; die alphabetische Reihenfolge unserer Spieler Adam, Bedam,... soll eine solche Reihe nicht suggerieren. Sie ist nur darstellungshalber, als Teil der erläuternden „Parasprache“ gewählt, mit der ich, der Schreiber, dir, dem Leser, darstelle und umschreibe, was hier gespielt wird.
Es entsteht so ein erstaunlicher Unterschied in den entstehenden Zahlenfolgen, und dieser Unterschied hängt nur davon ab, ob das „Diskursballett“ die soziale Symmetrie der Teilnehmer erzeugt oder nicht und die transitive Ordnung der Diskurse unter der Voraussetzung durchgeführt wird, dass sie sich gegenseitig repräsentieren können (was aber keine Pflicht ist). Den Diskurs unter vorausgehender Symmetrie können wir "Dialog" nennen.
Unter der Voraussetzung der sozialen Symmetrie zerfällt die transitive Hierarchie unter den Teilnehmern. Der erste Initiator nimmt daher auch keine privilegierte Stellung ein, weder am Anfang, noch am Ende. Auf diesen Aspekt werden wir später, als sehr interessant, zurückkommen.
b) Die dialogische Erzeugung der Zahlen: die natürlichen Zahlen
Die dialogische Konstruktionsvorschrift für natürliche Zahlen lautet, wie oben auch:
„ Mache das Gleiche, was dein Vorgänger gemacht hat!“
Der Respondent überwacht kritisch die Ausführung dieser Vorschrift, gekennzeichnet durch das Fragezeichen „?“.
SYMMETRIE
Respondent Initiator
BEDAM ADAM
-
?
I
ADAM BEDAM
-
?
I
Aus dieser sozialen Symmetrie des ADAM und des BEDAM ergibt sich deren gegenseitige Vertretungsfähigkeit. In diesen beiden ersten symmetrischen Diskursen hat jeder von ihnen einen Strich gemacht. Wenn nun einer von diesen beiden, für sich selbst oder in Repräsentanz des anderen, im nachfolgenden transitiven Durchgang in den nächsten Diskurs mit CEDAM eintritt, so wird er, egal ob er als ADAM oder als BEDAM agiert, einen Strich machen – in Befolgung der Regel: „Mache das Gleiche wie ein Vorgänger“. Denn aufgrund ihrer nunmehr geltenden sozialen Gleichheit ist die Aktion des ersten Akteurs die maßgebende Aktion, die Bezugsaktion für alle Nachfolger, die sich dieser Selbstverallgemeinerung unterzogen haben.
Es entsteht nun aber auch eine symmetrische Beziehung mit dem CEDAM. Denn statt der transitiven Diskursabfolge (ohne vorausgehende Symmetrie zwischen ADAM und BEDAM) mit den einseitigen Positionsverteilungen, bei denen ADAM ausschliesslich auf der bevorteilenden Initiativseite, und CEDAM nur auf der passiven Responsseite vorkommt (beachte die grau unterlegten Positionen!):
Positionsverteilung
TRANSITIVITÄT
(ohne vorausgehende Symmetrie)
Respondent Initiator
BEDAM ADAM
CEDAM BEDAM
CEDAM ADAM
ergibt sich jetzt, wegen der gegenseitigen Repräsentation von ADAM und BEDAM in den ersten beiden Durchgängen der transitiven Diskursabfolge folgende Veränderung in Bezug auf die Positionseinnahme von CEDAM und ADAM:
Positionsverteilung
TRANSITIVITÄT
(mit vorausgehender Symmetrie)
Respondent Initiator
CEDAM A-B-DAM
A-B-DAM CEDAM
...usw... ...usw...
Das heisst, nun ist die Symmetrie zwischen ADAM, BEDAM und CEDAM im Rahmen der transitiven Abfolge „automatisch“ hergestellt; von nun an können diese drei sich gegenseitig vertreten – damit setzt sich diese Verallgmeinerung der Diskursteilnehmer auf jeden weiteren hinzutretenden Spieler fort:
Respondent Initiator
CEDAM A-B-DAM
A-B-DAM CEDAM
DEDAM A-B-C-DAM
A-B-C-DAM DEDAM
...usw... ...usw...
CEDAM wird dann ebenso vertretungsfähig und vertretungsberechtigt gegenüber seinen Vorgängern ADAM und BEDAM, so dass auch CEDAM dann bei seinem nachfolgenden Diskurs auf der Initiatorseite einen Strich hinzufügt. Dies setzt sich dann fort bei DEDAM usw.
Durch die Symmetrie zwischen den Diskursteilnehmern bleibt es jetzt also unbeachtlich, wieviele Striche jeweils als Ausgangsbasis in einem Diskursdurchgang am Anfang standen – die Vorschrift: „Mache das Gleiche wie dein Vorgänger!“ hat sich 'materialisiert' auf „mache einen Strich hinzu!“. Wir haben nun also eine Begründung für die Nachfolger-Konstruktionsvorschrift Lorenzens n => nI .
Aufgrund der entstandenen allgemeinen gegenseitigen Vertretungsfähigkeit und Vertretungsberechtigung können wir nun, im weiteren transitiven Diskursverlauf, die Namen der jeweiligen Spieler weglassen und uns auf die Benennung der Position „Initiator“ bzw. „Respondent“ beschränken. Die Spieler spielen als „allgemeine Person“ N, so dass man diese Benennung eigentlich weglassen könnte.
Erzeugung der natürlichen Zahlen durch
TRANSITIVITÄT
bei implementierter Symmetrie
Respondent Initiator
NOMEN NOMEN Ergebnis
n
?
I nI
NOMEN NOMEN
nI
?
I nII
NOMEN NOMEN
nII
?
I nIII
...... usw....
Durch die Herstellung der sozialen Symmetrie zwischen den Diskursteilnehmern durch diese selbst entsteht ein Diskursverlauf, der die Folge der natürlichen Zahlen erzeugt.
Das ist also ersichtlich ein bedeutsamer Unterschied zu der allein transitiven Diskurschoreographie, bei der die Folge der Fibonacci-Zahlen entsteht - obwohl die Anweisung an die Diskursteilnehmer „Mache das Gleiche was dein Vorgänger gemacht hat!“ in beiden Fällen identisch ist und keinen Unterschied vorabdefiniert.
Der Unterschied wird vor allem deutlich beim „Unendlichen“: Bei der individualistischen Erzeugung der Zahlenfolge war der Erstinitiator DAM für die Beendigung der Folge zuständig – wann immer sein souverainer Wille es will. Die übrigen Teilnehmer ADAM, BEDAM,... können die Folge nicht beenden. Daher entsteht die Vorstellung von dem, was dieses Ende sein könnte, als etwas, das im Willen des DAM existiert. Die direkte Analogie zum Schöpfergott ist evident. So können wir aber auch verstehen, warum Aristoteles für das Potential-Unendliche plädierte: er hatte ja den persönlich gedachten Gott ersetzt durch das „erste unbewegte Bewegende“ (πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον), das die geschaffene Welt den Menschen überlässt.
Mit der Symmetrie zwischen den Diskursteilnehmern verschwindet die Vorzugsposition, die dem ersten Initiator zukommt, sie geht auf alle Teilnehmer über – auch seine „Lizenz“ zur Beendigung der Folge geht auf alle Teilnehmer über, jeder ist im Besitz der „Endlizenz“. Damit ist die Frage der Beendigung durch ein allgemeines Verfahren bestimmt, das jeder, der den allgemeinen Zahlbegriff beherrscht, anwenden kann – weil er den Begriff der Zahl kennt. Anfang und Ende ist etwas geworden, das der Menschenwelt zugehörig ist, es ist vom Himmel auf die Erde 'umgesiedelt' – durch die von den Menschen selbst, in der sozialen Symmetrie des Diskurses realisierte Ethik der Gleichheit.
Genau genommen ist die Konstruktion der Zahlzeichen und ihrer Verallgemeinerung in Zahlbegriffe noch nicht Mathematik. Aber sie ist Teil der Metamathematik (http://de.wikipedia.org/wiki/Metamathematik), welche die Grundlagen der Mathematik in einer konsistenten Theorie ausarbeiten will, die dem von Gödel aufgezeigten Dilemma entgeht.
Ich habe gezeigt, dass die Vorarbeit für die Metamathematik, die man eigentlich „Protomathematik“ nennen sollte, auf einer ethischen Basis beruht: die Gleichgeltung der Konstruktionsvorschrift für alle Diskursteilnehmer, und zugleich die zusätzliche Selbstverallgemeinerung der Teilnehmer durch die gegenseitige Zuteilung einer symmetrischen Position im Diskursverlauf.
Diese Verfahrensweise bei der Herstellung der Positionsgleichheit ist eine Anwendung der Ethik von Adam Smith (Theory of Moral Sentiments). Seine „Sympathy“ ist die Fähigkeit zum symmetrischen Positionstausch, die sich über den „neutralen Dritten“ in der Transitivität fortsetzt, bzw. die den „neutralen Dritten“ zum Repräsentanten aller menschen werden lässt – weil die Art seiner einbeziehung in den Diskursverlauf sich mit jedem anderen Menschen ebenfalls durchführen lässt.
Wir können daran sehen, dass die modernen Wissenschaften nur begründet werden können, wenn wir die Ethik der sozialen Gleichberechtigung einschliesslich der ausdrücklichen gegenseitigen Anerkennung dieser sozialen Gleichberechtigung als Basis nehmen. Nur auf dieser ethischen Basis können die wissenschaftlichen Allgemeinbegriffe begründet werden. Die expertenabhängige „Glaubensgrundlage“, die mit der axiomatischen Methodik verbunden ist, wird hinfällig. Die Protomathematik ist dafür ein Beispiel, das den Weg für andere protowissenschaftliche Begründungen in allen Fachwissenschaften aufzeigt
****
KARL JASPERS: Die Verantwortung zur Freiheit
Posts
