Gödel, Popper und die Empirie

Wissenschaftliche Hypothesen sind „Allaussagen“. Sie haben die Form

„Für ALLE x gilt: x ε P“.

Allaussagen unterscheiden sich von subjektiv-partikulären Einzel-Aussagen, die man etwa aufgrund seiner aufs Persönliche eingegrenzten Lebenserfahrung machen kann, wie z.B. die Bauernregeln über das Wetter.
Beispiel für eine solche Allaussage:

Adam behauptet:

 Für ALLE Schwäne gilt:

'dieser Schwan' ε weiss.

Umgangssprachlich ausgedrückt behauptet Adam also: Schwäne haben immer weisse Federn, und implizite behauptet er mit: es gibt keine Schwäne mit grünen, roten, blauen oder schwarzen Federn.
Wie kann Adam so etwas behaupten? Der Philosoph Karl Raimund Popper sagt: Adam darf das, einfach so, es kann ihm keiner verbieten, die Gedanken sind frei, Adam macht nur Gebrauch von seiner natürlichen Freiheit. Erst wenn ihm irgendjemand beweist, dass er mit seiner Behauptung falsch liegt, darf er es, als wissenschaftliche Aussage, nicht mehr behaupten.
Um Wissenschaft vom bloss-so-daher-Reden zu unterscheiden, legt Popper dem Wissenschaftler noch eine Zusatzaufgabe vor: er muss eine Methode darstellen, mit der man seine Behauptung empirisch überprüfen kann, d.h., mit der man sie als falsch nachweisen könnte.


Wie geht eine solche „Falsifikation“ einer generellen Allaussage oder Hypothese?


- „Alle Schwäne“ heisst: ohne Ausnahme alle Schwäne. Also machen sich Bedam, Cedam, Dedam,... auf, ein einziges Gegenbeispiel zu finden, um Adams Behauptung zu überpdüfen und dabei möglicherweise zu widerlegen. Das geht in unserem Beispiel ohne Labor, ohne statistische Berechnungen, ohne komplizierte Messapparate, ohne Large Hadron Collider.

Bedam zeigt auf diesen:

Adam hat recht, der Schwan ist weiss.
Seine Behauptung ist weiterhin legitim.

Cedam zeigt auf diesen:

Adam hat recht, der Schwan ist weiss.
(und göttlich weise noch dazu)
Seine Behauptung ist weiterhin legitim.

Dedam zeigt diesen:

Adam: uuups... ich gebe meine Behauptung auf
           – WENN das wirklich ein Schwan ist!
(es könnte sich ja z.B. um eine Inkarnation des Teufels oder wer weiss was sonst handeln...)

Der Nachweis, dass es sich bei dem schwarzen Vogel 'wirklich' um einen "Schwan" handelt, muss auf einer tieferen Ebene geführt werden. Die Ebene, auf der die behauptete Allaussage über die Schwäne bisher fundiert war, war die Ebene des Merkmals „Farbe des Federkleids“. Dass diese Merkmalsebene nicht das entscheidende definitorische Kriterium für den Allgemeinbegriff „Schwan“ liefert, wurde gerade nachgewiesen - durch welche Merkmale definiert man aber diese Vogelart? Im Augenblick der Falsifikation bricht uns dieses Wort weg - wir wissen jetzt nicht, worüber wir reden. Wenn wir das Wort "Schwan" weiter verwenden wollen - und die reale Unterscheidung einer Tierart - dann müssen wir eine neue Definitionsebene finden, die sowohl schwarze als auch weisse Exemplare zulässt. Dazu müssen wir umsteigen – auf eine tiefer liegende Merkmalsebene. Man muss ja wissen, worüber man redet, nachdem die Falsifikation den bisherigen Allgemeinbegriff "Schwan" ins Wanken gebracht hat.

Was also ist das notwendige und hinreichende Merkmalskriterium für „Schwan“, wenn es nicht die Federn sind? Das scheint uns, bei diesem Beispiel, nicht weiter problematisch zu sein: Biologen sagen uns: Kriterium kann z.B. die Paarungsfähigkeit dieses schwarzen Schwans mit einer weissen Schwänin sein, es kann auch z.B. ein Genvergleich sein. Als Ergebnis sollte ein Merkmal bestimmt werden können, durch das der Allgemeinbegriff „Schwan“ festgelegt ist und das die empirische farbliche Vielfalt dieser Vogelart zulässt. Das scheint uns alles plausibel - doch Vorsicht! Wir greifen hier auf ein Vorwissen zurück, das bei diesem trivialen Beispiel unproblematisch ist. Ganz anders stellt sich diese Frage in unbekannten Forschungsbereichen.

Soweit also die berühmte Poppersche Falsifikationstheorie.

Ist dieser Kritische Rationalismus ausreichend als Methode der Wissenschaft?
Die Bedingung, dass eine  „neue Merkmalsebene“ für die gültige Falsifikation einer generellen Allaussage mitbezeichnet werden muss, wird landläufig gerne übersehen. Das eigentliche philosophische Problem dabei ist: diese Merkmalsebene wird, ganz wie in Russels Mengenlehre, wie eine Matrjoschka aus der grösseren gezaubert. In welcher Art Beziehung stehen diese Merkmalsebenen zueinander? Sind es Kausalbeziehungen? Sind es Klassifikationsbeziehungen? Leicht bietet sich dabei ein naiver Reduktionismus an: der Wirtschaft liegt die Psychologie zugrunde, der Psychologie die Physiologie, der Physiologie die Chemie, der Chemie die Physik zugrunde...bis man auf die zündende Idee kommt, dass eine heutige Wirtschaftskrise sich per "Theorie von Allem" aus dem Urknall herleiten lassen könnte... Das heisst: aus der Situation einer gelungenen Falsifikation heraus stolpert man ganz unschuldig in eine naive Ordnungsvorstellung der Welt, in eine metaphysische Ontologie.

Aber die moderne Wissenschaft wollte sich doch gerade von der Metaphysik verabschieden, oder?

Später in seinem Leben kam Popper auf die Idee zu behaupten, dass die freiweg behaupteten generellen Allaussagen aus einer Art überindividueller, fast metaphysischen Sphäre entnommen werden, der „Dritten Welt“ der Ideen, der gedanklichen und kulturellen Artefakte; heute könnte man sagen: aus dem Google-Universum. Dort führen die Ideen einen selektiven Kampf ums Überleben, sozusagen um das Google-Ranking... Eine Frage zum Nachdenken: unterliegt die Hypothese der Dritten Welt auch der Faslsifikationstheorie? Wie sähe die Methode aus, mit der diese Hypothese Falsifikationsversuchen zu unterwerfen wäre?
Es war aber genau diese Problematik der hierarchischen Stufen der Allgemeinbegriffe, um deren Lösung in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts gerungen wurde – und denen Popper, wie etwa die Mitglieder des "Wiener Kreis"- Philosophen, Logiker, Mathematiker, entkommen wollte. Oder hat Popper die Probleme nur verdrängt?

Der Kritische Rationalismus - eine Lösung, die nicht geht - und warum Gödel daran schuld ist...
Wir stehen vor der Situation: Eine Behauptung, die nicht begründet ist, als allgemein gültig behaupten zu dürfen. Das hat etwas mit dem Begriff der Wahrheit zu tun – denn mit den Worten „das ist wahr!“ können wir ja einen Anderen verpflichten, uns Glauben zu schenken und entprechennd unserer Behauptung zu handeln.

Wie transformiert man also eine unbegründete Behauptung in eine wahre, allgemeingültige Behauptung? Wie erzeugt man Wahrheit?
Dieses Problem hatte man gegen Ende des 19. Jahrhunderts auch in der Mathematik. Aber man hatte das Problem nicht nur in der Mathematik, sondern in allen Wissenschaften. Die alte Metaphysik hatte ihre Glaubwürdigkeit verloren, die Zahlen waren nun auch nicht mehr, wie aus der pythagoreischen Tradition, eigenständige Wesenheiten mit mythischen Eigenschaften, sondern nur noch Worte. Was bedeuten diese Zahlworte? Das ist entscheidend für die ganze Mathematik, also auch dafür, ob z.B. ein Physiker den Berechnungen über ein Atomkraftwerk vertrauen darf. Der Mathematiker Leopold Kronecker hatte das Problem formuliert: „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk“. Wissenschaft will sich jedoch, nach ihrem Anspruch, nicht auf die Klugheit Gottes verlassen, die im Glauben erschlossen wird. Wissenschaft will ALLES selber wissen.
Anders als Kronecker (der selbst ein früher Vorläufer des sog. "Konstruktivismus" in der Mathematik ist, wie er dann von Paul Lorenzen realisiert wurde) beschritt man in der Folge den formalistischen Weg. Das heisst: im Rahmen von formalen Systemen, allein auf der formalen Logik aufbauend, sollten Beweismöglichkeiten für die Wahrheit von ursprünglich unbegründeten Behauptungen, den Axiomen, erzeugt werden. Damit, hoffte man, könnte man um die Frage: "was sind die natürlichen Zahlen?" herumkommen, das würde sich innerhalb dieses formalen, rein logischen Systems dann ergeben. Für die anderen Wissenschaften nennt man diese Bemühungen "Wissenschaftstheorie".

Damit könnte man erreichen, dass man sich nicht in einem sozialen Zusammenhang, einem Dialog, über "empirische" Wahrheitsbelege einigen muss. Man könnte auf den Dialog, d.h. auf die Herstellung der dialogischen Symmetrie verzichten und gleich den individualistischen Machtdiskurs der sozialen Transitivität ansteuern. (siehe Blog "Wörter mit Musik"). Wenn der Wahrheitsbeweis einer Behauptung auch individualistisch, eben durch einsames logisches Nachdenken innerhalb des eigenen Kopfes, zu erbringen ist, dann kann man auch mit voller Berechtigung durch den so, individualistisch erschlossenen Besitz der Wahrheit 'rationale' Verpflichtungen gegenüber anderen aussprechen. Das ist eine Grundidee des sogenannten „methodischen Individualismus“. Dass sich diese theoretischen Mühen schwerpunktmässig auf dem Gebiet der Mathematik abspielen, tut nichts zur Sache – wenn es dort gelingt, Theorien ausschliesslich formal zu begründen, gelingt es auch auf anderen Gebieten der methodisch fundierten Erkenntnis.

Doch die Mühen mehrerer Jahrzehnte waren umsonst.
Fast jeder neue Versuch zur Lösung dieses Problems, erlebte, kaum erdacht, seinen Ruin.

Der englische Philosoph, Logiker und Mathematiker Bertrand Russel zerstörte mit der „Russelschen Antinomie“ dem Erfinder der heutigen Logik, Gottlob Frege, die frohe Hoffnung, ihm sei die Begründung der Mathematik aus der formalen Logik durch eine 'naive' Mengenlehre gelungen.

Russell präsentierte nämlich das Paradoxon vom Dorfbarbier, der alle rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Problem: die Rasurbedürfnisse des Barbiers selbst passen nicht in diese Regel - wer also rasiert den Dorfbarbier?.

Russel selbst wollte das Problem lösen, indem er – um in seinem Bild zu bleiben – einen zusätzlichen Barbier anstellte, der diejenigen in fremden Dörfern rasiert, die sich nicht selbst rasieren, dort aber alle jene rasieren, die sich nicht selbst rasieren.... Er entwarf also eine „Typentheorie“, eine hierarchische Stufung von solchen Regeln. In der Stufe 1 spricht man über die Ursprungsgegenstände; in der Stufe 2 spricht man über die Stufe 1 und ihre Inhalte, aber nicht über die Stufe 2 selbst; in der Stufe 3 spricht man über die Gegenstände der Stufe 2 und Stufe 1, aber nicht über die Stufe 3 selbst, usw... (Man erkennt die Struktur des Argumentierens in sozialer Transitivität: die Elite macht der Plebs Vorschriften, aber nicht sich selbst, s. Blog "Wörter mit Musik") Die Theorien werden ineinander verschachtelt wie Matrjoschkas.

Es blieb aber unklar, ob die umfangreiche Mengenlehre Russels aus der "Principia Mathematica" selbst, in sich, widerspruchsfrei ist. Die Frage der Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit ist aber das A und O einer jeden formallogischen Theorie. Sind diese beiden Bedingungen nicht erfüllt, könnte man mit der Theorie alles Beliebige 'beweisen'  - und wer alles beweisen kann, beweist nichts, "ex falsum quodlibet". Denn: was man in die formale Theorie hineinsteckt, sind ja völlig beliebige, unbewiesene "Axiome". Also: erst nach dem Nachweis der inneren Widerspruchsfreiheit und der Vollständigkeit einer formalen Theorie kann man mit dieser wahre Aussagen erzeugen.

Der Mathematiker David Hilbert hatte sein umfangreiches "Hilbert-Programm" verkündet, mit dessen Einlösung er die nötigen Nachweise für  Russels „Principia Mathematica“ mit einer Metamathematik erbringen wollte – kaum aber war die Druckfarbe getrocknet, veröffentlichte sein Schüler Kurt Gödel seinen „Unvollständigkeitssatz“.

Dieser Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt: eine formale, axiomatische Theorie kann NIEMALS mit ihren eigenen Argumenten, mit ihren eigenen Sprachmitteln auch beweisen, dass sie selbst sowohl vollständig als auch widerspruchsfrei ist – also die beiden notwendigen Bedingungen erfüllt, die eine formale Theorie zur Theorie machen. Man kann entweder die Vollständigkeit beweisen oder die Widerspruchsfreiheit - aber nicht beides zusammen.
Es geht um die Frage der Allgemeingültigkeit von Aussagen. Eine Aussage ist genau dann allgemeingültig, wenn sie formal beweisbar ist – das ist die Ausgangslage. Allgemeingültigkeit heisst: Wahrheit. Aber es geht dabei um solche Aussagen, die zuerst willkürlich behauptet werden, um dann im Rahmen eines Systems bloss formaler Schlussfolgerungen als widerspruchsfrei mit allen anderen Aussagen, die dieses System erzeugen kann, bewiesen zu werden. Die Widerspruchsfreiheit einer Aussage mit den anderen Aussagen ist der Wahrheitsbeweis (in Bezug auf dieses System); daraus ergibt sich die Allgemeingültigkeit einer Aussage. Aus einem unvollständigen System jedoch können alle möglichen Aussagen wiederspruchsfrei abgeleitet werden – diese sind dann wertlos, weil beliebig.

Also braucht man, ausser den Beweis der Widerspruchsfreiheit, auch den Beweis der Vollständigkeit dieses Systems, will man den Anspruch auf Allgemeingültigkeit der abgeleiteten Aussage aufrecht erhalten. Beide Beweise müssen inerhalb des Systems erfolgen, nicht von aussen, nicht von einem anderen System. Denn dieses müsste ja selbst auch erst geprüft werden, durch ein weiteres, und so weiter und so fort, ad infinitum. Matrjoschka-System.

Gödels Unvollständigkeitssatz hat eine, auch heute noch nicht vollständig erkannte Sprengkraft für alle "axiomatischen" Wissenschaften. "Axiomatisch" sind alle Theorien, die mit irgendwelchen "Definitionen" beginnen, um dann daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten. Gehen wir in der Unibibliothek durch die Reihen verschiedener Fachbereiche und blättern in den Lehrbüchern, dann bemerken wir: so wird es praktisch überall gemacht., insbesondere auch in den Sozialwissenschaften.

Dabei wird übergangen, dass Gödels Unvollständigkeitssatz endgültig und definitiv alle Hoffnung zerstörte, jemals auf eine rein formalistische Methodik aus unbegründeten Anfangsbehauptungen (Axiomen) Wahrheiten, oder gar empirisch bestätigbare Wahrheiten, Aussagen über die Welt da draussen erzeugen zu können. Die "Erlanger Schule" hat erst für einige wenige Wissenschaften eine Lösung angeboten (Logik, Mathematik, Physik, Chemie).

Leider wird diese Konsequenz aus dem Unvollständigkeitssatz nicht in die Wissenschaftstheorie und -methodik eingearbeitet - das aber ist die Aufgabe einer wirklich metaphysikfreien Wissenschaft. Stattdessen mystifiziert man gerne: etwa die Welt als ein "endloses geflochtenes Band"  (vgl. Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach)). Solche selbstbezüglichen Schleifen sind ästhetisch wunderbar - "wir fahrn,fahrn, fahrn auf der Autobahn, dann schalten wir das Radio an, aus dem Lautsprecher klingt es dann: wir fahrn, fahrn, fahrn auf der Autobahn" aber kaum tauglich für eine argumentierende Vernunft.

Dieser harte Schlag Gödels gegen den "logischen Positivismus" war die Ausgangslage, aus der heraus Popper seine Falsifikationstheorie entwarf. Seine Idee: Wenn man schon nicht die Wahrheit einer Behauptung beweisen kann, dann darf man, aus reiner Plausibilität, Genialität und Lebenserfahrung heraus behaupten was man will, bis die Falschheit dieser Behauptung bewiesen ist.

Zuvor hatte sich Popper in einer bekannten Kontroverse mit dem Philosophen und Logiker Rudolf Carnap gestritten. Carnap hatte, durch Gödels Unvollständigkeitssatz, ebenfalls Schiffbruch erlitten mit seinem Versuch, den (formal-)„logischen Aufbau der Welt“ darzustellen. Übrigens war auch Wittgenstein von Gödels Satz betroffen und änderte sein Philosophieren komplett - schwieg aber erst einige Jahre und dachte gründlich nach.

Carnap versuchte es nun von neuem mit einem „Physikalismus“. Grundidee dieses Physikalismus ist, durch Protokollsätze möglichst genau eine Beobachtung von den realen, physischen Dingen aufzunehmen (wer , wann, wie lange usw. hat "da draussen" was genau beobachtet). Aus diesen – zwecks Beweisbarkeit und Nachvollziehbarkeit gut dokumentierten – Einzelbeobachtungen sollten dann durch "Induktion" allgemeine Aussagen und Allgemeinbegriffe gebildet werden, sozusagen der Rohstoff der Wissenschaften. Dabei nimmt man eine Reihe von Einzelaussagen: Dieser Schwan hier ist weiss, UND jener Schwan dort ist weiss, UND der Schwan da drüben ist weiss, UND ...,UND... Man verbindet viele Einzelaussagen mit UND – und verallgemeinert. Wie viele Einzelaussagen? Tja, vielleicht bis man, wie beim Schäfchenzählen, einschläft. Aus der UND-Verbindung der vielen Einzelaussagen entsteht dann der logische Quantor „ALLE“. Kann man, nur weil man "ALLE" vor den Satz stellt, schon von einer generellen Allaussage sprechen? (Dies vollzog Popper, indem er die Angaben über die protokollierenden Individuen in den "Protokollsätzen" strich und dann von "Basissätzen" sprach.)

Tatsächlich geht diese Induktion, die Verallgemeinerung, nur bei einer endlichen, abzählbaren Menge von Individuen, etwa:

„für ALLE Schwäne auf unserem Dorfweiher gilt:
'dieser Schwan' ε weiss“

Der Quantor ALLE kann dabei durch eine konkrete Zahl ersetzt werden, z.B. „sieben“. Weil die Menge der Tiere, über die wir sprechen, abzählbar ist, können wir dabei immer auf die Situation zurückgehen, in der wir den Prädikator "Schwan" eigeführt, gelehrt oder gelernt haben. "Damals habe ich dir gesagt, das ist ein Schwan, also, schau genau hin, es ist wahr, das ist ein Schwan!"

Wir suchen aber nach der Möglichkeit, einen Allgemeinbegriff für eine potentiell unendliche Menge von Individuen zu begründen, für einen "unendliche Kommunikationsgemeinschaft". Wir wollen auch morgen, übermorgen, oder im Urlaub in einem entfernten Land, beim Beobachten eines grossen Wasservogels unserem Kind sagen können: "schau, das ist ein Schwan". Und diese Behauptung soll beanspruchen können, wahr zu sein.

Es geht also um eine Möglichkeit, wahre Aussagen treffen zu können - wie im Alltag, so in der Wissenschaft.

Solange aus dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz nicht die notwendige Konsequenz gezogen wird, wenn also die axiomatisch-formalistische Methodologie der Wissenschaften weiter beibehalten wird (wie z.B. in der Volkswirtschaftslehre), dann muss man auf den wissenschaftlich allgemein begründeten Wahrheitsanspruch verzichten. genau dies geschieht z.B. in der Systemtheorie und im 'radikalen Konstruktivismus' - statt von "Wahrheit" spricht man lieber von Machbarkeit, "Viabilität". "Die Wahrheit ist die Erfindung eines Lügners" betitelte z.B. H. v. Förster sein Buch. Für Sozialtheorien bedeutet dies: die Widerspruchssfreiheit genügt für die Machbarkeit, wenn man nur durchsetzungsfähig ist und auf die "Vollständigkeit", d.h. auf die Berücksichtigung der Interessen ALLER Mitglieder eines sozialen Systems verzichten kann. So wird die Frage der Wahrheit zurückgestutzt auf die Frage, ob eine selbsternannte Elite ihre partikulären Interessen gegen den Rest der Gesellschaft durchsetzen kann.

Wen wunderts, wenn die Wirtschaftspolitik nach Massgabe der politischen Durchsetzbarkeit und Machbarkeit von den dazu die Macht habenden Kreisen bestimmt wird?

Allgemeinheit im Denken und Argumentieren heisst auch Denken und Argumentieren für die Allgemeinheit.
Wissenschaft geht nicht ohne Ethik, die bereits in die Begriffe der Wissenschaft implementiert ist, eine methodologisch wissenschaftsimmanente Ethik der Verallgemeinerung des Selbst.